希薄化曲線(rarefaction curve)は生態学の分野で使われる種数を評価する方法です。

あるサンプルにおいて合計 $N$ 個のアイテムが、$K$ 種類のグループにわかれ、グループ $i \ (i = 1, \cdots K)$ には $N_i$ 個のアイテムが属するとします。このとき、$N$ 個のアイテムから $n$ 個をリサンプリングしたときに観測されるグループの数を $X_n$ として、その期待値がリサンプリング数 $n$ に対する関数である希薄化曲線 $f_n$ として定義されます:

$$ f_n := E[X_n] \ . $$

観測されるグループ数の期待値 $E[X_n]$ は、グループ $i$ のアイテムが観測される確率を $p_i$ とすれば、

$$ E[X_n] = \sum_{i=1}^K p_i $$

となります。さらに $p_i$ は、$N$ 個のアイテムの中から $n$ 個をとる組み合わせのうち、グループ $i$ のアイテムが少なくともひとつ含まれる場合の確率なので

$$ p_i = 1 - \frac{\left(\begin{array}{c}N-N_i\\ n \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N \\ n \end{array}\right)} $$

と書けます。これらを用いれば $f_n$ は以下のようになります:

$$ \begin{eqnarray} f_n =& \sum_{i=1}^K 1 - \frac{\left(\begin{array}{c}N-N_i\\ n \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N \\ n \end{array}\right)} \nonumber \\ = &K - \left(\begin{array}{c}N \\ n \end{array}\right)^{-1} \sum_{i=1}^K \left(\begin{array}{c}N-N_i\\ n \end{array}\right) \ . \nonumber \end{eqnarray} $$

参考文献