定数係数の2階線形常微分方程式
\begin{equation}\label{eq:ode}
y” + ay’ + by = f(x)
\end{equation}
は工学的な応用においてしばしば登場します。$f(x)=0$ のとき同次、そうでないときを非同次と呼びます。
線形の常微分方程式の特徴は、次の重ね合わせの原理が成り立つことです。
重ね合わせの原理
$$
\begin{cases}
y_1'' + ay_1' + by_1 = f_1(x)\\
y_2'' + ay_2' + by_2 = f_2(x)
\end{cases}
$$
のとき、$y(x):=c_1 y_1(x)+ c_2 y_2(x)$は、すべての $c_1,c_2\in R$に対して、 $y'' + ay' + by = c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x)$ の解です。これは、
以下の計算から簡単に分かります。
$$
\begin{aligned}
y'' + ay' + by & = c_1 (y_1'' + ay_1' + by_1) + c_2 (y_2'' + ay_2' + by_2) \\
& = c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x)
\end{aligned}
$$
(\ref{eq:ode}) の一般解 $y(x)$ は、重ね合わせの原理から、そのひとつの特殊解 $y_p(x)$ と同次形の一般解 $y_h(x)$ を用いて以下のように表せます :
$$
y(x) = y_p(x)+y_h(x)
$$
同次形の一般解は簡単に求めることができるので、問題は特殊解を求めることです。 $f(x)=0$ が簡単な形のときは特殊解も簡単に求めることができます。例えば、 $f(x)=cx+d$ のときは、
$y_p(x)=Ax + B$ とおけば、
$$
\begin{aligned}
a A + Ax + B = cx + d\\
A = c, B = d - ac
\end{aligned}
$$
となります。
その他、様々な $f(x)$ に対して解を求める方法があり、定数変化法や、冪級数による方法などがあります。