確率変数$X$についての確率密度関数を$f_X(x)$、累積分布関数を$F_X(x):=\int^x_\infty f_X(x)dx$としたとき、期待値について以下の式が成り立ちます。
$$
E(X)=\int^\infty_0 (1-F_X(x))dx
$$
証明
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\begin{align}
\int^\infty_0 (1-F_X(x))dx&=\int^\infty_0P(X\geq x)dx\\
&=\int^\infty_0 \int^\infty_x f_X(t)dtdx\\
&=\int^\infty_0\int^t_0 f_X(t)dxdt\\
&=\int^\infty_0 tf_X(t)dt=E(x)
\end{align}
$$
途中で積分の順序を交換するのがポイントです。