$I\times K$ 行列 $A$ と $J \times K$ 行列 $B$ を考え、$A, B$ の列ベクトルを $a_i,b_i \ (1\leq i \leq K)$ とします。
$$
\begin{align}
A:= \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,K} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{I,1} & \cdots & a_{I,K} \\
\end{pmatrix}=
[a_1 \cdots a_K]
\\
B:= \begin{pmatrix}
b_{1,1} & \cdots & b_{1,K} \\
& & \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
& & \\
b_{J,1} & \cdots & b_{J,K} \\
\end{pmatrix}=
[b_1 \cdots b_K]
\end{align}
$$
このとき、$A$ と $B$ の転置 $B^T$ の積 $C$ を列ベクトルで表すと次のようになります。
$$
\begin{align}
C :=& A B^T \\
=&
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,K} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{I,1} & \cdots & a_{I,K} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{1,1} & &\cdots && b_{J,1} \\
\vdots && \ddots && \vdots \\
b_{1,K} && \cdots && b_{J,K} \\
\end{pmatrix}\\
=&
\begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^{K} a_{1,k}b_{1,k} && \cdots && \sum_{k=1}^{K} a_{1,k}b_{J,k} \\
\vdots && \ddots && \vdots \\
\sum_{k=1}^{K} a_{I,k}b_{1,k} && \cdots && \sum_{k=1}^{K} a_{I,k}b_{J,k} \\
\end{pmatrix}\\
=&
\sum_{k=1}^{K}
\begin{pmatrix}
a_{1,k}b_{1,k} && \cdots && a_{1,k}b_{J,k} \\
\vdots && \ddots && \vdots \\
a_{I,k}b_{1,k} && \cdots &&a_{I,k}b_{J,k} \\
\end{pmatrix}\\
=&
\sum_{k=1}^{K}
a_k b_k^T
\end{align}
$$