1階線形微分方程式
$$
\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + p(t) x = q(t)
$$
の解は
$$
x(t) = u(t) (\int \frac{q(t)}{u(t)}{\rm d}t + C)
$$
となります。ただし$u(t) = {\rm exp}(-\int p(t){\rm d}t)$です。
とくに$p(t)=b$、$q(t)=a$のとき、
$$
x(t) = \frac{a}{b} + e^{-bt} (x_0 - \frac{a}{b})
$$
です。