1階線形微分方程式の解

1階線形微分方程式

$$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + p(t) x = q(t) $$

の解は

$$ x(t) = u(t) (\int \frac{q(t)}{u(t)}{\rm d}t + C) $$

となります。ただし$u(t) = {\rm exp}(-\int p(t){\rm d}t)$です。

とくに$p(t)=b$$q(t)=a$のとき、

$$ x(t) = \frac{a}{b} + e^{-bt} (x_0 - \frac{a}{b}) $$

です。

参考文献